Faktoren $ \ frac12 $ kommer inn fordi vi integrerer ligningen $$ \ frac {\ mathrm dE} {\ mathrm dv} = mv $$ en gang.

Mindre abstrakt og bruker bare grunnleggende aritmetikk går historien slik:

Når man akselererer en kropp ved å påføre en (konstant) kraft $ F $ langs en avstand $ \ Delta s $, får kroppen energi i henhold til $$ \ Delta E = F \ Delta s $$ som bare er definisjonen av (mekanisk) arbeid.

I følge Newtons andre lov $ F = ma $. Vi har også $ \ Delta s \ approx v \ Delta t $ og dermed $$ \ Delta E \ approx mav \ Delta t $$ Dette forholdet er bare omtrentlig fordi i løpet av et begrenset tidsintervall $ \ Delta t $, verdien $ v $ endres ettersom hele poenget med øvelsen akselererte kroppen.

Nå, som $ a \ Delta t = \ Delta v $ har vi $$ \ Delta E \ approx mv \ Delta v $$

Men hvor kommer faktoren $ \ frac12 $ inn? Fra grunnleggende beregning: $$ \ Delta (v ^ 2) = (v + \ Delta v) ^ 2-v ^ 2 = 2v \ Delta v + (\ Delta v) ^ 2 \ ca 2v \ Delta v $$ som gir $$ \ Delta E \ approx \ frac12m \ Delta (v ^ 2) = \ Delta (\ frac12 mv ^ 2) $$ og dermed $$ E \ approx \ frac12 mv ^ 2 + \ mathrm {const} $$ Hvis vi går fra endelige til uendelige minimale tidsintervaller, ligningene blir nøyaktige, og vi trenger ikke lenger å anta en konstant kraft. >

På det tidspunktet $ t = t_0 $ har kroppen en hastighet $ v (t_0) = v_0 $. Etter en tid $ \ Delta t $ har kroppen hastigheten $ v (t_0 + \ Delta t) = v_0 + \ Delta v $.

Verdien av $ v ^ 2 $ på tiden $ t = t_0 $ er selvfølgelig $ v ^ 2 (t_0) = v (t_0) ^ 2 = v_0 {} ^ 2 $. Hva er verdien av $ v ^ 2 $ på tiden $ t = t_0 + \ Delta t $? $$ v ^ 2 (t_0 + \ Delta t) = v (t_0 + \ Delta t) ^ 2 = (v_0 + \ Delta v) ^ 2 $$ På den annen side har vi også $$ v ^ 2 (t_0 + \ Delta t) = v ^ 2 (t_0) + \ Delta (v ^ 2) = v_0 {} ^ 2 + \ Delta (v ^ 2) $$ og dermed $$ \ begin {align *} \ Delta (v ^ 2) & = (v_0 + \ Delta v) ^ 2 -v_0 ^ 2 \\ & = v_0 ^ 2 + 2v_0 \ Delta v + ( \ Delta v) ^ 2 - v_0 {} ^ 2 \\ & = 2v_0 \ Delta v + (\ Delta v) ^ 2 \ end {align *} $$ Vi er interessert i øyeblikkelige verdiene, dvs. endringen når vi tar grensen $ \ Delta t \ rightarrow 0 $. Dette betyr at $ \ Delta v $ også blir vilkårlig liten, og vi er spesielt i stand til å ignorere høyere krefter som $ (\ Delta v) ^ 2 $ og få $$ \ Delta (v ^ 2) \ ca 2v_0 \ Delta v $$ eller $$ \ frac {\ Delta (v ^ 2)} {\ Delta v} \ ca 2v_0 $$ Denne prosedyren er så nyttig at den fikk sin egen formalisme og symbolsk notasjon $$ \ frac {\ mathrm {d} (v ^ 2)} {\ mathrm {d} v} = 2v $$ etter å ha tatt grensen $ \ Delta v \ rightarrow 0 $.

Så du trenger et enkelt svar ... La oss vurdere en kroppsvekt på $ m $ i ro. Starthastighet $ u = 0 $. Nå beveger kroppen seg med en hastighet $ v $.

Kraften på den akselererende kroppen er $ F = ma $, $$ \ innebærer F = m \ frac {dv} {dt} $$

Den lille mengden arbeid som er gjort for å flytte kroppen over en liten avstand $ ds $ er $$ dw = F.ds $$$$ dw = m \ frac {ds} {dt} dv = mvdv $$ Derfor er det totale arbeidet som er gjort med å akselerere kroppen fra $ 0 $ til $ v $ $$ W = \ int_0 ^ v dw = \ int_0 ^ v mvdv $$$$ \ innebærer W = {mv ^ 2 \ over 2} $ $ Dette utførte arbeidet er lagret som den kinetiske energien til den bevegelige kroppen ... $ KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $

I denne metoden, Halv kommer gjennom integrering. Det er ingen annen forklaring enklere enn dette, jeg tror det ... Men den faktiske avledningen er levert av Wikipedia

Når du studerer fysikk mer, vil du legge merke til at en faktor på halvparten ofte følger kvadratiske mengder. For eksempel:

$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $

$ \ frac {1} {2} CV ^ 2 $

$ \ frac {1} {2} LI ^ 2 $

Dette er henholdsvis kinetisk energi, kondensatorenergi og induktorenergi.

Hvis du har studert kalkulasjonsbasert fysikk, vet du at tidsraten for endring av kinetisk energi er kraft og at kraft er et produkt av kraft og hastighet.

$ \ frac {d} {dt} KE = f \ cdot v = ma \ cdot v = m \ frac {dv} {dt} \ cdot v $

Integrering av begge sider med hensyn til $ t $ utbytter:

$ KE = \ int mv \ \ frac {dv} {dt} dt = \ int mv \ dv = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $

Hvis du ikke er kjent med beregning ennå, vil ikke ovenstående gi mye mening, men som du blir mer kjent med det, vil du gjenkjenne den faktoren at halvparten ofte oppstår på grunn av en integrasjon.

Her er en liten argumentlinje som ikke er en DERIVASJON, men forhåpentligvis vil det gi deg et intuitivt bilde mellom faktor 2 og definisjon av forskjellige energier i fysikk.

Som du vet, er energi bevart, så hvis planeten kretser rundt solen, dens potensielle energi omdannes konstant til kinetisk og omvendt.

Vårt spørsmål er hvordan vi skal representere mekanisk energi gjennom begrepet hastighet?

La oss anta følgende eksempel: Vi frigjør et testlegeme fra høyden H og lar det falle fritt til groungen.

I begynnelsen har kroppen den potensielle energien $ E = mg H $, vi vet at når kroppen treffer bakken den vil ha potensiell energi lik 0 (siden $ H = 0 $), og det betyr at all dens opprinnelige potensielle energi vil bli konvertert til kinetisk energi.

Så vi har $ K = E = mg H $.

Nå trenger vi bare å representere denne energien gjennom hastigheten. Vi kan gjøre det ved å legge merke til at for en fritt fallende kropp $ v = gt $ så $ t = \ sqrt {\ frac {2 H} {g}} $ siden $ H = \ frac {gt ^ 2} {2} $ og fi nally $ g H = \ frac {v ^ 2} {2} $.

Så for innledende energi har vi $ E = K = mgH = m \ frac {v ^ 2} {2} $

Her kom faktor 2 fra definisjonen av kroppsavstand under konstant akselerasjon av g.

Håper det hjelper din intuisjon.

Selv om jeg er enig i de mange svarene her om opprinnelsen til $ \ frac {1} {2} $ -faktoren, er det et viktig poeng som ikke er kommet frem ennå.

Faktum er at faktoren 1/2 bare er der på grunn av enhetssystemet som brukes til å måle masse. Vi kunne enkelt endre vårt enhetssystem på en slik måte at den kinetiske energien bare ble $ mv ^ 2 $.

Det å være komfortabel med å bytte fra ett enhetssystem til et annet er faktisk et viktig og nyttig triks. For eksempel gjøres dette ofte for å ha et system med enheter der lyshastigheten er definert som lik 1, noe som er fint fordi det betyr at du ikke trenger å skrive $ c $ overalt.