Objektet du snakker om kalles i matematikk en Clifford-algebra. Tilfellet når algebra er over det komplekse feltet generelt har en vesentlig annen struktur enn tilfellet når algebra er over det virkelige feltet, noe som er viktig i fysikk. I Fysikk, i det spesifikke tilfellet med fire dimensjoner, ved å bruke Minkowski-beregningen som du har i spørsmålet ditt, og over det komplekse feltet, kalles algebra Dirac-algebra. Når du har navnet Clifford algebra , kan du slå dem opp på Google, der den første oppføringen, ikke overraskende, er Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_algebra, som gir deg en rimelig smak av de abstrakte konstruksjonsmetodene som matematikere foretrekker. John Baez-siden som er koblet til fra Wikipedia-siden, er vel verdt å lese (hvis du brukte et år på å lære alt som John Baez har lagt ut gjennom årene, nesten alltid med uvanlig klarhet og engasjerende, ville du vite det meste av matematikken som kan være nyttig for fysikk).

Det er ikke så mye at Clifford-algebraene er morsomme. Deres kvadratiske konstruksjon henger sammen, ofte tett, med mange andre konstruksjoner i matematikk.

Det er mennesker som er begeistret for Clifford-algebraer, noen ganger veldig eller for mye, og en mye blekk har blitt sølt (Joel Rices og Luboš Motls svar er ganske utilstrekkelige i forhold til litteraturen, bortsett fra at jeg tror de valgte å tolke spørsmålet ditt smalt hvor jeg har tatt opp hva konstruksjonen din har ført til i matematikk i større grad), mange andre fisker i sjøen for å beundre.

REDIGERING: Spesielt i lys av Mareks kommentarer nedenfor, skal det sies at jeg tolket Isaks spørsmål generøst. Det er en noe skarp feil i OP som påpekes av Luboš (som jeg håper du ser, Isaac). Likevel er det en type konstruksjon som er nært knyttet til det jeg valgte å ta for å være ideen om OP, Clifford algebras.

Isaac, dette er hvordan jeg tror at avledningen din burde gå, hvis vi bare bruk kvaternioner, ta $ q = t + ix + jy + kz $, $$ q ^ 2 = (t + ix + jy + kz) (t + ix + jy + kz) = t ^ 2-x ^ 2- y ^ 2-z ^ 2 + 2t (ix + jy + kz). $$ Vilkårene $ xy, yz, zx $ avbrytes pent, men vilkårene $ tx, ty, tz $ gjør det ikke, med mindre vi gjør som Luboš gjorde og introdusere konjugatet $ \ overline {q} = t-ix-jy-kz $. Dette gjør imidlertid ikke det jeg tar deg for å prøve å gjøre. Så i stedet introduserer vi et fjerde objekt, $ \ gamma ^ 0 $, for hvilket $ (\ gamma ^ 0) ^ 2 = + 1 $, og som motpendler med $ i $, $ j $ og $ k $. Deretter er kvadraten på $ \ gamma ^ 0t + ix + jy + kz $ $ t ^ 2-x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2 $. Algebraen dette genererer er imidlertid mer enn bare kvartærene, det er Clifford-algebraen $ C (1,3) $.

EDIT (2): Hei, Isaac. Jeg har tenkt på denne måten for mye over natten. Jeg tror nå som jeg tok feil, gjorde du ikke feil. Jeg tror du hadde til hensikt at uttrykket ditt $ (a, b, c, d) ^ 2 $ skal bety det positivt bestemte indre produktet $ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 $. Med denne lesningen ser vi imidlertid tre distinkte strukturer, det positive-bestemte indre produktet, kvartærene og det indre Minkowski-romproduktet som kommer fra å bruke de to første sammen. En del av det som fikk meg til å introdusere en annerledes konstruksjon er at i din er bruken av kvartærene overflødig, fordi du ville få det samme resultatet som du syntes bemerkelsesverdig hvis du bare brukte $ (a, ib, ic, id) ^ 2 $ (som Luboš også nevnte). Selv det positive, bestemte indre produktet er overflødig, for så vidt det vi virkelig er interessert i bare det indre produktet fra Minkowski. Selvfølgelig vet jeg noe som ser ut som ligner og som har vært matematisk produktivt i over et århundre, og som kan konstrueres ved hjelp av ideen om en ikke-kommutativ algebra og det indre produktet fra Minkowski-rommet.

For å fortsette det ovennevnte kan vi skrive $ \ gamma ^ 1 = i $, $ \ gamma ^ 2 = j $, $ \ gamma ^ 3 = k $ for de kvaternioniske basiselementene, sammen med basiselementet $ \ gamma ^ 0 $, så kan vi definere algebraen etter produktene til basiselementene i algebraen, $ \ gamma ^ \ mu \ gamma ^ \ nu + \ gamma ^ \ nu \ gamma ^ \ mu = 2g ^ {\ mu \ nu} $ . Alternativt, for hvilken som helst vektor $ u = (t, x, y, z) $ kan vi skrive $ \ gamma (u) = \ gamma ^ 0u_0 + \ gamma ^ 1u_1 + \ gamma ^ 2u_2 + \ gamma ^ 3u_3 $, så kan vi definere produktets algebra for vilkårlige 4-vektorer, $ \ gamma (u) \ gamma (v) + \ gamma (v) \ gamma (u) = 2 (u, v) $, hvor $ (u, v) $ er det indre innerproduktet fra Minkowski. Derfor har vi $ [\ gamma (u)] ^ 2 = (u, u) $. Nå blir alt for mitt øye, og forhåpentligvis for ditt, ganske ryddig og pent i tråd med den konvensjonelle formalismen.

Det er bare morsomt. Vær oppmerksom på at ligningen faktisk ikke bruker et enkelt generelt kvartær. Du bruker bare de imaginære enhetene $ i, j, k $ på en ad hoc måte for å få tre minustegn når du trenger dem.

Hvis du brukte en faktisk kvartal $ $ q = t + xi + yj + zk, $$ så er den eneste halvnaturlige virkelige bilineære invarianten du kan konstruere ut av den $$ q \ bar q = (t + xi + yj + zk) (t - xi - yj - zk) = t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 $$ så de 4 virkelige komponentene i et kvartær har fremdeles den euklidiske, i stedet for Minkowskian, signatur. Men selv for et 4-dimensjonalt euklidisk rom, er quaternionene faktisk bare et spill fordi vi egentlig ikke har brukt den viktigste ikke-private strukturen til quaternions, deres multiplikasjon, på noen ikke-triviell måte. Kvarternioner er ikke ekte kvaternioner hvis du aldri bruker forholdet $ ij = -ji = k $ og dets sykliske permutasjoner - og vi har ikke brukt dem ovenfor. Vi brukte bare det faktum at $ i, j $ etc. motarbeider hverandre, men vi brydde oss ikke egentlig hva deres produkt er.

Fordi vi ikke har brukt de relasjonene, har vi ikke ' t brukte fulle kvaternjoner - bortsett fra som et meningsløst bokføringsapparat. På samme måte kan man organisere 8 reelle tall under paraplyen til en enkelt "octonion" bortsett fra at hvis den kompliserte og kule octonion multiplikasjonstabellen - med $ G_2 $ automorfismegruppen - aldri blir brukt, er det klart at "octonion" tolkning var bare et spill for å gi et navn til en samling på 8 tall. Men ikke hver samling på 4 eller 8 tall fortjener å bli kalt "quaternion" og "octonion", selv om man selvfølgelig kan få de enkelte komponentene ut av "quaternion" og "octonion" også.

På samme måte er et generelt par med to reelle tall rett og slett ikke et komplekst tall. I sin essens må et komplekst tall fungere som ett tall - så det må være en forestilling om holomorfi som kreves et eller annet sted i formalismen - i stedet for to tall. Referansene som er koblet i de andre svarene, forstår ikke formålet og relevansen av alle disse matematiske strukturene, så de fører til feil svar på det grunnleggende spørsmålet om kunsten er ekte eller bare morsom. Det riktige svaret er at det bare er morsomt, og moroa din brukte til og med en feil signatur som skiller seg fra noe mer naturlig moro.

Cornelius Lanczos har et kapittel om kvaternioner og spesiell relativitet i "The Variational Principles of Mechanics". Så har blitt brukt. Men det virker enklere å vurdere multivektoralgebra i romtid så t, x, y, z virkelig er på samme hold.

Det er en bok: "Quaternions, Clifford Algebras and Relativistic Physics." av Patrik R. Girard. Finn dette hvis du vil lære mer - veldig god lesing, ikke veldig kompleks og ikke veldig lang. Jeg vil bare sitere første avsnitt i kapittel 3.

Helt fra begynnelsen av spesiell relativitet har komplekse kvartær blitt brukt til å formulere den teorien [45]. Dette kapittelet etablerer uttrykket for Lorentz-gruppen ved hjelp av komplekse kvartær og gir noen få applikasjoner. Komplekse kvaternjoner utgjør en naturlig overgang mot Clifford algebra H ⊗ H.

Vel og referansen:

[45] L. Silberstein, Theory of Relativitet, Macmillan, London, 1914.

Du har snublet over et fruktbart område. Selv om det ikke bare var det du spurte om, kan jeg fortelle deg at det kanskje mest interessante forholdet mellom ortogonale grupper og quaternions kommer fra å se på spinors. Som du kanskje vet, dekker symmeturgruppen kalt $ Spin $ double gruppen rotasjoner, og er den mer relevante gruppen for fysikk siden spinorer transformeres under denne større gruppen. Et nyttig eksempel er det dobbelte omslaget $ SU (2) \ rightarrow SO (3), $ det vil si $ SU (2) = Spinn (3) $ i den euklidiske signaturen.

Topologisk, $ SU (2) $ er en 3-sfære, som vi kan tenke på som enhetskvaternionene (husk at normen er euklidisk, som påpekt av andre). For å forstå kartet $ SU (2) \ rightarrow SO (3), $ la $ v $ være en imaginær quaternion (som vi kan tenke på som en 3-vektor), og la $ q $ være i $ SU (2). $ Siden multiplikasjon av kvartærer bevarer normen, har

$$ \ overline {q} vq $$

den samme normen som v, og vil du merke at det fortsatt er imaginært. Således er handlingen $ v \ stackrel {q} {\ mapsto} \ overline {q} vq $ av $ SU (2) $ på $ R ^ 3 $ (de imaginære kvartærene) ved en rotasjon. Videre handler $ q $ og $ -q $ på samme måte. Så vi har beskrevet et dobbelt omslag på $ SU (2) $ på tredimensjonale rotasjoner.

Kanskje dette ikke er det du umiddelbart spurte om eller oppdaget, men det er sannsynligvis verdt å vite.

Først merk at $ q = t + xi + yj + zk $ og $ q \ prime = t - xi - yj - zk $

Så $ qq \ prime = t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 $

Derfor bør det være $ t ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 $, og det er derfor ikke den rette signaturen til spesiell relativitet . For det andre siden kvaternion ikke har en analog av en forestilling som holomorf funksjon (siden konjugatet ikke er uavhengig), er det ikke fysisk ideelt eller nyttig så vidt jeg vet. Du kan generalisere det og ha utmerket nytte, men du må gi opp delingsalgebraegenskapen. Clifford algebra er et eksempel.

Kvadratisk kvadrat, ikke nødvendigvis et som involverer rom og tid: $$ (a, b, c, d) ^ 2 = (a ^ 2 - b ^ 2 - c ^ 2-d ^ 2, 2ab, 2ac, 2ad) $$ Den første termen i invariant under en Lorentz-transformasjon. De neste tre terminene ble utelatt av OP. Kvadrering av en kvaternion genererer en annen kvaternion. Under en Lorentz-transformasjon vil begrepene "space-times-time" endre seg.

Still nå det omvendte spørsmålet: hva slags fysikk resulterer hvis term-space-time-termen er uforanderlig for to forskjellige observatører? I dette tilfellet vil intervallperioden endres. Det eneste fysikkområdet jeg vet hvor intervaller endrer seg (er dynamiske) er tyngdekraften. Hvis tyngdekraften skyldes et nytt invarianseprinsipp i naturen (rom-tid-tiden er den samme for forskjellige observatører i et gravitasjonsfelt), så har man som spesiell relativitet ikke en feltligning. Uten feltligning er det ingen kraftpartikkel.

Det som ble glemt i det opprinnelige spørsmålet, kan være det mest interessante å tenke nøye på.

Konstruksjonen du har beskrevet, er litt adhoc fordi du ikke bruker normen på kvartærene. Imidlertid er det en måte å endre multiplikasjonen på kvartærene på, slik at du kan gjøre akkurat det.

James Cockle introduserte split-quaternions i 1843 der han spesifiserte $ i ^ 2 = -1, j ^ 2 = + 1, k ^ 2 = + 1 $ . Hvis vi endrer dette ytterligere ved å spesifisere at $ i ^ 2 = + 1 $ også, så får vi en kvaternion $ v = a + bi + cj + dk $ (av denne typen) normen $ v ^ 2 = v ^ * v = a ^ 2-b ^ 2-c ^ 2-d ^ 2 $ der $ v ^ * = a-bi-cj-dk $ er konjugatet til $ v $ . Dette er Minkowski-beregningen uttrykt naturlig gjennom en norm.

Jeg vet ikke om det er et standardnavn for denne typen quaternion. Coquaternions kan være en mulighet, men det ser ut til at dette også er et synonym for splittede quaternions. Dessverre, i motsetning til de vanlige kvartærene, har ikke alle ikke-null-elementer en invers. Men det er en naturlig tilstand som lar deg si at du kan: så lenge normen til elementet ikke forsvinner, kan vi ta det omvendte. Dette minner om hvordan determinanter fungerer i lineær algebra.

Minkowski-mellomrom uttrykkes vanligvis som et normert vektorrom med signatur $ (1,3) $ . det vi nettopp har vist er at vi naturlig kan plassere en algebrastruktur på dette rommet. Og tilsvarende for slike mellomrom med hvilken som helst signatur som fører til konseptet Clifford Algebras hvor vi spesifiserer at $ p $ generatorer kvadrat til +1 og $ q $ generatorer kvadrat til -1.

Hvor nyttig dette er for relativitet, er jeg ikke sikker på. Men å finne ekstra naturlige strukturer å jobbe med er vanligvis en god idé.

Det er sant at multiplikasjon av kvaternion gir deg relativitetsintervallet mellom rom og tid. Hvis du kunne få de tre andre begrepene til å bety noe interessant som passer inn i det, ville du ha noe interessant .

Folk bruker ofte quaternions bare for å gjøre rotasjoner. Dette involverer $ YXY ^ t $ .

Hva får du når du bare gjør $ YX $ ?

Når du bare gjør $ YX $ får du en Keplerian elliptisk bane i stedet for en rotasjon.

Sett $ X $ til $ [0, A] $ der $ A $ er vektoren fra sentrum av ellipsen til nærmeste banepunkt fra fokus, med tidsparameteren satt til null. (For enkelhets skyld setter jeg $ | A | = 1 $ siden skalaen er vilkårlig.

Sett G som en hvilken som helst enhetskvaternion $ [0, B] $ . $ B \ ganger X $ er ellipsens semiminorakse. $ B. \ overline {X} $ er eksentrisiteten. $ | B | X $ er fokus.

For enhver gjennomsnittlig avvik $ E $ , finn $ Y = [cos (E), sin (E) G ] $ og hvis du multipliserer det med et hvilket som helst kvartær på banen, vil du få et annet kvartær på banen rotert så langt. Tidsdimensjonen til det kvartæret vil vise hvor langt avansert eller forsinket tiden er i forhold til en hel omløpsperiode.

$ YXY ^ t $ gir en måte å fjerne eksentrisiteten når $ A $ og $ B $ er ikke vinkelrett.

Beregn en Kepler-bane i to trinn. Finn gjennomsnittsavviket for inndatasaken du vil ha, og gjør en multiplikasjon i kvartær.

Alt du gjør med kvaternionsmultiplikasjon når en av kvaternionene er en enhetsvektor, er analog med å beregne en elliptisk bane.

Kan du tenke deg en måte å gjøre spesielle relativitetsberegninger analoge med beregning av elliptiske baner?